Điều kiện để ma trận khả nghịch

     
Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán thù Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. Khái niệm ma trận nghịch hòn đảo (matrix inversion):

1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cấp n được Gọi là ma trận đơn vị chức năng nếu như A.I = I.A = A, với mọi ma trận vuông A cấp cho n

Ta nhận ra ma trận bên trên là lâu dài. Thật vậy, ma trận thỏa ĐK bên trên gồm dạng sau:


*

Bên cạnh đó, ma trận đơn vị chức năng là nhất. Thật vậy, giả sử có nhị ma trận đơn vị I với I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị cần I.I’ = I’.I = I’

và I’ là ma trận đơn vị chức năng phải I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là một trong những ma trận vuông cấp n bên trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, nếu trường thọ một ma trận B vuông cấp cho n bên trên K sao cho: A.B = B.A = In. khi kia, B được Call là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A-1.You watching: Tìm m để ma trận khả nghịch

Nhỏng vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 Nhận xét:

1. Ma trận nghịch đảo là độc nhất, vì đưa sử sống thọ ma trận C vuông cấp n cũng chính là ma trận nghịch hòn đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, nghĩa là A lại là ma trận nghịch hòn đảo của A-1

3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, hiện nay, có khá nhiều giáo trình nước ngoài sẽ đề cập tới khái niệm khả nghịch của ma trận bất kỳ.

Bạn đang xem: Điều kiện để ma trận khả nghịch

Thật vậy, đến A là ma trận cấp m x n bên trên ngôi trường số K. lúc đó, ta bảo A là khả nghịch trái trường hợp trường thọ ma trận L cấp n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải trường hợp tồn tại ma trận R cung cấp n x m sao cho: A.R = Im. Và lúc ấy, tất nhiên A khả nghịch trường hợp A khả nghịch trái cùng khả nghịch yêu cầu.

4. Ma trận đơn vị chức năng là khả nghịch, Ma trận ko ko khả nghịch.

Xem thêm: How To See Who Has Viewed Your Facebook Profile S, How To See Who Has Viewed Your Facebook Profile

5. Tập vừa lòng các ma trận vuông cấp n bên trên K khả nghịch, được ký kết hiệu là GLn(K).

1.4 Các ví dụ:

Xét những ma trận vuông thực, cấp cho 2 sau đây:


*

" data-medium-file="https://hoangdaokimgiap.vn.files.hoangdaokimgiap.vn.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=300" data-large-file="https://hoangdaokimgiap.vn.files.hoangdaokimgiap.vn.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=524" class="size-full wp-image-1110" title="mtnd5" src="https://hoangdaokimgiap.vn.files.hoangdaokimgiap.vn.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=750" alt="Ma tr�n sơ cấp cho dạng 2" srcset="https://hoangdaokimgiap.vn.files.hoangdaokimgiap.vn.com/2008/10/mtnd5.jpg 524w, https://hoangdaokimgiap.vn.files.hoangdaokimgiap.vn.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=150 150w, https://hoangdaokimgiap.vn.files.hoangdaokimgiap.vn.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=300 300w" sizes="(max-width: 524px) 100vw, 524px" />Ma trận sơ cấp dạng 2
" data-medium-file="https://hoangdaokimgiap.vn.files.hoangdaokimgiap.vn.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=300" data-large-file="https://hoangdaokimgiap.vn.files.hoangdaokimgiap.vn.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=326" class="size-full wp-image-1112" title="mtnd6" src="https://hoangdaokimgiap.vn.files.hoangdaokimgiap.vn.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=750" alt="Ma tr�n sơ cung cấp dạng 3" srcset="https://hoangdaokimgiap.vn.files.hoangdaokimgiap.vn.com/2008/10/mtnd6.jpg 326w, https://hoangdaokimgiap.vn.files.hoangdaokimgiap.vn.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=150 150w, https://hoangdaokimgiap.vn.files.hoangdaokimgiap.vn.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=300 300w" sizes="(max-width: 326px) 100vw, 326px" />Ma trận sơ cấp cho dạng 3

3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). Lúc đó, những xác minh sau đây là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In cảm nhận tự A vì một trong những hữu hạn những phnghiền thay đổi sơ cấp cho mẫu (cột)

3. A là tích của một trong những hữu hạn các ma trận sơ cấp

(quý khách hiểu rất có thể xem chứng minh định lý này vào ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cấp cho n bên trên K (n ≥ 2). Lúc đó, những khẳng định sau đây là tương đương:

1. A khả nghịch lúc và chỉ Lúc dạng chính tắc của A là In

2. Nếu A khả nghịch thì In nhận ra từ A do một số trong những hữu hạn các phnghiền chuyển đổi sơ cấp dòng (cột); bên cạnh đó, bao gồm dãy các phxay chuyển đổi sơ cung cấp dòng (cột) này sẽ biến In thành nghịch hòn đảo của ma trận A.

4. Thuật toán Gausβ – Jordan search ma trận nghịch hòn đảo bằng phxay thay đổi sơ cấp:

Ta thực hiện thuật tân oán Gausβ – Jordan nhằm kiếm tìm nghịch đảo (nếu như có)của ma trận A vuông cấp cho n bên trên K. Thuật tân oán này được thiết kế dựa vào hiệu quả thứ hai của hệ trái 3.4. Ta triển khai quá trình sau đây

Cách 1: lập ma trận n mặt hàng, 2n cột bằng phương pháp ghxay thêm ma trận đơn vị cấp cho n I vào bên bắt buộc ma trận A


" data-medium-file="https://hoangdaokimgiap.vn.files.hoangdaokimgiap.vn.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=300" data-large-file="https://hoangdaokimgiap.vn.files.hoangdaokimgiap.vn.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=333" class="size-full wp-image-1115" title="mtnd7" src="https://hoangdaokimgiap.vn.files.hoangdaokimgiap.vn.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=750" alt="L�p ma tr�n bỏ ra khối hận cấp n x 2n" srcset="https://hoangdaokimgiap.vn.files.hoangdaokimgiap.vn.com/2008/10/mtnd7.jpg 333w, https://hoangdaokimgiap.vn.files.hoangdaokimgiap.vn.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=150 150w, https://hoangdaokimgiap.vn.files.hoangdaokimgiap.vn.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=300 300w" sizes="(max-width: 333px) 100vw, 333px" />Lập ma trận chi khối hận cấp n x 2n

Cách 2: Dùng những phxay thay đổi sơ cấp cho dòng để mang về dạng , trong những số đó A’ là 1 trong ma trận lan can thiết yếu tắc.See more: Tóm Tắt Lý Thuyết Hóa 12 Bài Phản Ứng Xà Phòng Hóa Của Este, Các Loại Phản Ứng Xà Phòng Hóa

– Nếu A’ = In thì A khả nghịch với A-1 = B

– Nếu A’ ≠ In thì A không khả nghịch. Nghĩa là, vào quy trình chuyển đổi nếu A’ lộ diện ít nhất 1 mẫu ko thì nhanh chóng Kết luận A không khả nghịch (không cần thiết phải chuyển A’ về dạng thiết yếu tắc) cùng kết thúc thuật tân oán.

lấy ví dụ như minch họa: Sử dụng thuật toán thù Gausβ – Jordan nhằm tìm kiếm ma trận nghịch đảo của: